Question

已知數(shù)列{a_n}滿足na_n+1=（n+1）a_n，a₁=1．
（Ⅰ） 求數(shù)列{}的前n項和T_n；
（Ⅱ）若存在n∈{n|1≤n≤9，n∈N^*}，使不等式T_n＜t²-成立，求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵數(shù)列{a_n}滿足na_n+1=（n+1）a_n，
∴
∴數(shù)列{}是等差數(shù)列，
∵a₁=1，∴，∴a_n=n
∵
∴T_n=1--+…+=1-=
（Ⅱ）若存在n∈{n|1≤n≤9，n∈N^*}，使不等式T_n＜t²-成立，只要（T_n）_min＜t²-
∵
∴T_n是單調(diào)遞增的
∵n∈{n|1≤n≤9，n∈N^*}，∴（T_n）_min=T（1）=
于是只要＜t²-，∴t＜-1或t＞1
∴實數(shù)t的取值范圍是t＜-1或t＞1．
分析：（Ⅰ） 根據(jù)數(shù)列{a_n}滿足na_n+1=（n+1）a_n，可得數(shù)列{}是等差數(shù)列，從而可得a_n=n，再根據(jù)，即可求得數(shù)列{}的前n項和T_n；
（Ⅱ）若存在n∈{n|1≤n≤9，n∈N^*}，使不等式T_n＜t²-成立，只要（T_n）_min＜t²-，利用作差法證明T_n是單調(diào)遞增的
，從而問題轉(zhuǎn)化為＜t²-，由此可求實數(shù)t的取值范圍．
點(diǎn)評：本題考查構(gòu)造法求數(shù)列的通項，考查數(shù)列的求和，考查恒成立問題，解題的關(guān)鍵是將存在n∈{n|1≤n≤9，n∈N^*}，使不等式T_n＜t²-成立，轉(zhuǎn)化為（T_n）_min＜t²-．