Question

2．已知兩點A（-m，0），B（m，0）（m＞0），如果在直線3x+4y+25=0上存在點P，使得∠APB=90°，則m的取值范圍是[5，+∞）．

Answer 1

分析 根據(jù)P在直線3x+4y+25=0上，設(shè)出點P的坐標(biāo)，寫出向量$\overrightarrow{AP}$、$\overrightarrow{BP}$；利用$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{BP}$=0得出方程，再由△≥0求出m的取值范圍．

解答 解：∵P在直線3x+4y+25=0上，設(shè)點P（x，$\frac{-3x-25}{4}$），
∴$\overrightarrow{AP}$=（x+m，$\frac{-3x-25}{4}$），
$\overrightarrow{BP}$=（x-m，$\frac{-3x-25}{4}$）；
又∠APB=90°，
∴$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{BP}$=（x+m）（x-m）+${（\frac{-3x-25}{4}）}^{2}$=0，
即25x²+150x+625-16m²=0；
∴△≥0，
即150²-4×25×（625-16m²）≥0，
解得m≥5，或m≤-5，
又m＞0，∴m的取值范圍是[5，+∞）．
故答案為：[5，+∞）．

點評 本題考查了直線方程的應(yīng)用問題，也考查了平面向量的數(shù)量積的應(yīng)用問題，考查了轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用問題，是綜合性題目．