Question

17．若α∈（0，$\frac{π}{2}$），γ∈（0，π），sinα+sinγ=sinβ，cosα+cosγ=cosβ，則γ-α的值為$\frac{2π}{3}$．

Answer 1

分析 先分別把sinα+sinγ=sinβ，cosα+cosγ=cosβ兩邊都平方，利用同角三角函數(shù)關(guān)系式得到2+2（cosαcosγ+sinαsinγ）=1，再由余弦函數(shù)加法定理得cos（γ-α）=-$\frac{1}{2}$，由此能求出結(jié)果．

解答 解：∵α∈（0，$\frac{π}{2}$），γ∈（0，π），sinα+sinγ=sinβ，cosα+cosγ=cosβ，
sin²α+sin²γ+2sinαsinγ=sin²β，
cos²α+cos²γ+2cosαcosγ=cos²β，
∴2+2（cosαcosγ+sinαsinγ）=1，
∴cos（γ-α）=-$\frac{1}{2}$，
∵α∈（0，$\frac{π}{2}$），γ∈（0，π），∴-$\frac{π}{2}$＜γ-α＜π，
∴γ-α=$\frac{2π}{3}$．
故答案為：$\frac{2π}{3}$．

點評 本題考查角的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意同角函數(shù)函數(shù)關(guān)系式、余弦加法定理的合理運用．