Question

【題目】如圖，四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠DAB=90°，AD//BC，且BC⊥PB，△PAB是等邊三角形，DA=AB=2，BC=AD，E是線段AB的中點(diǎn).

（I）求證：PE⊥CD；

（II）求PC與平面PDE所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）PC與平面PDE所成角的正弦值為

【解析】【試題分析】（1）先證明線面垂直，再運(yùn)用線面垂直的性質(zhì)定理分析推證；（2）建立空間向量，運(yùn)用向量的坐標(biāo)形式及向量的數(shù)量積公式分析求解：

解：（I）證明：因為BC⊥AB,BC⊥PB,

所以BC⊥側(cè)面PAB，

PE平面PAB，所以BC⊥PE.

又因為△PAB是等邊三角形，E是線段AB的中點(diǎn)，

所以PE⊥AB.

因為AD∩AB=A，

所以PE⊥平面ABCD.

而CD平面ABCD，所以PE⊥CD.

（II）以E為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系E—xyz.

則E（0,0,0），C（1，-1,0），D（2,1,0），P（0,0， ）

有,,

設(shè)=(x,y,z)為平面PDE的法向量.

由

令x=1可得

設(shè)PC與平面PDE所成的角為

所以PC與平面PDE所成角的正弦值為