Question

10．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且滿足2a=3b=4c，則$\frac{sin2A}{sinB+sinC}$=-$\frac{11}{14}$．

Answer 1

分析 設(shè)2a=3b=4c=k，則：a=$\frac{k}{2}$，b=$\frac{k}{3}$，c=$\frac{k}{4}$，由正弦定理可得：sinA=$\frac{k}{4R}$，sinB=$\frac{k}{6R}$，sinC=$\frac{k}{8R}$，由余弦定理可得cosA=-$\frac{11}{24}$，利用倍角公式代入即可求值．

解答 解：∵設(shè)2a=3b=4c=k，則：a=$\frac{k}{2}$，b=$\frac{k}{3}$，c=$\frac{k}{4}$，
∴由正弦定理$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}=\frac{c}{sinC}=2R$可得：sinA=$\frac{k}{4R}$，sinB=$\frac{k}{6R}$，sinC=$\frac{k}{8R}$，
由余弦定理可得：cosA=$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{\frac{{k}^{2}}{9}+\frac{{k}^{2}}{16}-\frac{{k}^{2}}{4}}{2×\frac{k}{3}×\frac{k}{4}}$=-$\frac{11}{24}$．
∴$\frac{sin2A}{sinB+sinC}$=$\frac{2sinAcosA}{sinB+sinC}$=$\frac{2×\frac{k}{4R}×（-\frac{11}{24}）}{\frac{k}{6R}+\frac{k}{8R}}$=-$\frac{11}{14}$．
故答案為：-$\frac{11}{14}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了正弦定理，余弦定理，倍角公式在解三角形中的應(yīng)用，熟練掌握相關(guān)公式是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．