Question

設函數f（x）=|x+a+1|+|x+a-1|的圖象關于y軸對稱，函數g（x）=-x³+bx²+cx（b為實數，c為正整數）有兩個不同的極值點A、B，且A、B與坐標原點O共線：
（1）求f（x）的表達式；
（2）試求b的值；
（3）若x≥0時，函數g（x）的圖象恒在函數f（x）圖象的下方，求正整數c的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）因為函數f（x）=|x+a+1|+|x+a-1|的圖象關于y軸對稱，所以f（-1）=f（1），由此列方程即可解得a的值
（2）因為函數g（x）=-x³+bx²+cx（b為實數，c為正整數）有兩個不同的極值點A、B，故先求此函數的導函數g′（x），由g′（x）=0得A、B的橫坐標，而A、B與坐標原點O共線，由OA與OB的斜率相等，列方程即可解得b的值
（3）先研究函數f（x）的性質，由絕對值三角不等式可得其最小值為2，再研究函數g（x）的性質，利用導數得函數g（x）在[0，+∞）上在x=處取得最大值，最后由函數g（x）的圖象恒在函數f（x）圖象的下方，列不等式即可解得c的范圍，因為c為正整數，可求c值
解答：解：（1）∵函數f（x）的圖象關于y軸對稱，
∴f（-1）=f（1），即|a+2|=|a-2|，
解得a=0，
∴f（x）=|x+1|+|x-1|
（2）設x₁、x₂是函數g（x）的兩個極值點，
則x₁、x₂是方程g′（x）=-3x²+2bx+c=0的兩個不等實根，
則△=4b²+12c＞0（c為正整數）
∴
又∵A、O、B三點共線
∴
即（x₁-x₂）[-（x₁+x₂）+b]=0，又∵x₁≠x₂，
∴，
∴b=0
（3）∵f（x）=|x+1|+|x-1|≥|（x+1）+（1-x）|=2
∴f_min（x）=f（1）=2
∵x≥0時函數g（x）的圖象恒在函數f（x）圖象的下方
∴f（1）＞g（1），即2＞c-1
∴0＜c＜3，∴，
又∵g（x）=-x³+cx，令g′（x）=-3x²+c=0，
∴g（x）在[0，）上單調遞增，在（，+∞）上單調遞減
且
即g（x）在[0，+∞）上的最大值小于函數f（x）的最小值f（1）=2
∴0＜c＜3即可使函數g（x）的圖象恒在函數f（x）圖象的下方
又∵c為正整數
∴c=1或2
點評：本題綜合考查了函數的奇偶性（對稱性），函數的極值與導數的關系，導數在函數單調性和最值中的應用，不等式恒成立問題的解法