Question

6．如圖，四棱錐S一ABCD的底面是矩形，SA⊥底面ABCD，P為BC邊的中點(diǎn)，且AD=2，SA=AB=1．
求：（1）SC與平面SAD所成角的正切值；
    （2）SP與平面SCD所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸，AS為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出SC與平面SAD所成角的正切值．
（2）求出平面SCD的法向量和$\overrightarrow{SP}$，由此能求出SP與平面SCD所成角的正弦值．

解答 解：（1）以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸，AS為z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
由題意得S（0，0，1），C（1，2，0），A（0，0，0），D（0，2，0），
$\overrightarrow{SC}$=（1，2，-1），平面SAD的法向量$\overrightarrow{n}$=（1，0，0），
設(shè)SC與平面SAD所成角為θ，
則sinθ=|cos＜$\overrightarrow{SC}，\overrightarrow{n}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{SC}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{SC}|•|\overrightarrow{n}|}$|=|$\frac{1}{\sqrt{6}}$|=$\frac{\sqrt{6}}{6}$，
∴tanθ=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
∴SC與平面SAD所成角的正切值為$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
（2）P（1，1，0），$\overrightarrow{SP}$=（1，1，-1），$\overrightarrow{SD}$=（0，2，-1），$\overrightarrow{SC}$=（1，2，-1），
設(shè)平面SCD的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{SD}=2b-c=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{SC}=a+2b-c=0}\end{array}\right.$，取b=1，得$\overrightarrow{m}$=（0，1，2），
設(shè)SP與平面SCD所成角為α，
則sinα=|cos＜$\overrightarrow{SP}，\overrightarrow{m}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{SP}•\overrightarrow{m}}{|\overrightarrow{SP}|•|\overrightarrow{m}|}$|=|$\frac{0+1-2}{\sqrt{3}×\sqrt{5}}$|=$\frac{\sqrt{15}}{15}$．
∴SP與平面SCD所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{15}}{15}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面角的正切值和正弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．