Question

已知函數f（x）=cos2x+asinx
（Ⅰ）當a=2時，求函數f（x）的值域；
（Ⅱ）若函數f（x）的最小值為-6，求實數a的值；
（Ⅲ）若a∈R，求函數f（x）的最大值．

Answer 1

（Ⅰ）當a=2時，f（x）=cos²x+2sinx=-sin²x+2sinx+1=-（sinx-1）²+2，
由-1≤sinx≤1，得到-2≤f（x）≤2，
則函數f（x）的值域為[-2，2]，
（Ⅱ）f（x）=-sin²x+asinx+1=-（sinx-

a

2

）²+

a2

4

+1，
∴f（x）_min=

a(a≤0) -a(a＞0)

，
∵f（x）的最小值為-6，
則a=±6；
（Ⅲ）f（x）=-sin²x+asinx+1=-（sinx-

a

2

）²+

a2

4

+1，
則f（x）_max=

-a(a＜-2) a2 4 +1(-2≤a≤2) a(a＞2)

．