Question

8．經(jīng)調(diào)查統(tǒng)計(jì)，網(wǎng)民在網(wǎng)上光顧某淘寶小店，經(jīng)過一番瀏覽后，對(duì)該店鋪中的A，B，C三種商品有購買意向．該淘寶小店推出買一件送5元優(yōu)惠券的活動(dòng)．已知某網(wǎng)民購買A，B，C商品的概率分別為$\frac{2}{3}$，P₁，P₂（P₁＜P₂），至少購買一件的概率為$\frac{23}{24}$，最多購買兩件種商品的概率為$\frac{3}{4}$．假設(shè)該網(wǎng)民是否購買這三種商品相互獨(dú)立．
（1）求該網(wǎng)民分別購買A，B兩種商品的概率；
（2）用隨機(jī)變量X表示該網(wǎng)民購買商品所享受的優(yōu)惠券錢數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）由題意和概率的乘法公式可得P₁和P₂的方程組，解方程組可得；
（2）由題意可得X的可能取值為0，5，10，15，分別可得所對(duì)應(yīng)的概率，可得分布列和期望．

解答 解：（1）由題意可得至少購買一件的概率為$\frac{23}{24}$，
∴一件都不買的概率為1-$\frac{23}{24}$=$\frac{1}{24}$，
∴（1-$\frac{2}{3}$）（1-P₁）（1-P₂）=$\frac{1}{24}$，①
又∵最多購買兩件種商品的概率為$\frac{3}{4}$，
∴三件都買的概率為1-$\frac{3}{4}$=$\frac{1}{4}$，
∴$\frac{2}{3}$P₁P₂=$\frac{1}{4}$，②
聯(lián)立①②可解得$\left\{\begin{array}{l}{{P}_{1}=\frac{1}{2}}\\{{P}_{2}=\frac{3}{4}}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{{P}_{1}=\frac{3}{4}}\\{{P}_{2}=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
∵P₁＜P₂，∴網(wǎng)民分別購買A，B兩種商品的概率分別為P₁=$\frac{1}{2}$，P₂=$\frac{3}{4}$；
（2）用隨機(jī)變量X表示該網(wǎng)民購買商品所享受的優(yōu)惠券錢數(shù)，
由題意可得X的可能取值為0，5，10，15，
由（1）知P（X=0）=$\frac{1}{24}$，P（X=5）=$\frac{2}{3}×\frac{1}{2}×\frac{1}{4}$+$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\frac{1}{4}$+$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\frac{3}{4}$=$\frac{1}{4}$，
P（X=10）=$\frac{2}{3}×\frac{1}{2}×\frac{1}{4}$+$\frac{2}{3}×\frac{1}{2}×\frac{3}{4}$+$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\frac{3}{4}$=$\frac{11}{24}$，P（X=15）=$\frac{1}{4}$，
∴X的分布列為：

X	0	5	10	15
P	$\frac{1}{24}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{11}{24}$	$\frac{1}{4}$

X的數(shù)學(xué)期望為：EX=0×$\frac{1}{24}$+5×$\frac{1}{4}+10×\frac{11}{24}$+15×$\frac{1}{4}$=$\frac{115}{12}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列及其期望的求解，涉及相互獨(dú)立事件的概率，屬中檔題．