Question

19．P是圓x²+y²=4上任意一點，P在x軸上的射影為M點，N是PM的中點，點N的軌跡為曲線C，曲線C₁的方程為：
x²=8（y-m）（m＞0）
（1）求軌跡C的方程；
（2）若曲線C與曲線C₁只有一個公共點，求曲線C₁的方程；
（3）在（2）的條件下，求曲線C和曲線C₁都只有一個交點的直線l方程．

Answer 1

分析 （1）設(shè)出N的坐標，利用中點坐標公式求出P點的坐標，代入圓的方程后整理即可得到答案；
（2）將（0，1）代入x²=8（y-m），可得m=1，即可求曲線C₁的方程；
（3）在（2）的條件下，可得曲線C和曲線C₁都只有一個交點的直線l方程．

解答 解：（1）設(shè)N（x，y），則由中點坐標公式得P（x，2y），
因為P是圓x²+y²=4上任意一點，
所以x²+4y²=4，
整理得，$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$．
（2）將（0，1）代入x²=8（y-m），可得m=1，
所以曲線C₁的方程為x²=8（y-1）；
（3）在（2）的條件下，設(shè)與曲線C和曲線C₁都只有一個交點的直線l方程為y=kx+m；
分別與C的方程：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$以及曲線C₁的方程x²=8（y-1）聯(lián)立，得到：
2k²+m-1=0和4k²-m²+1=0；
解得m=1或-3；
當m=1時，k=0，
當m=-3時，k=±$\sqrt{2}$；
所以：
與曲線C和曲線C₁都只有一個交點的直線l方程為：y=1或y=±$\sqrt{2}$x-3．

點評 本題考查了軌跡方程問題，考查了代入法求軌跡方程，是中檔題．