Question

如圖AC是圓O的直徑，B、D是圓O上兩點，AC=2BC=2CD=2，PA⊥圓O所在的平面，PA=

3

，點M在線段BP上，且BM=

1

3

BP．
（1）求證：CM∥平面PAD；
（2）求異面直線BP與CD所成角的余弦值．

Answer 1

考點：異面直線及其所成的角,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）作ME⊥AB于E，連接CE，則ME∥AB由圓的性質(zhì)得EC∥AD，從而平面MEC∥平面PAD，由此能證明CM∥平面PAD．
（2）過點A作平行于BC的直線交CD的延長線于G，作BF∥CG，連接PF，∠PBF為異面直線BP與CD所成角，由此能求出異面直線BP與CD所成角的余弦值．

解答： （1）證明：作ME⊥AB于E，連接CE，∴CE⊥AP，…①
∵AC是圓O的直徑，AC=2BC=2CD=2，
∴AD⊥DC，AB⊥BC，∴∠BAC=∠CAD=30°，
∠BCA=∠DCA=60°，AB=AD=

3

，
BM=

1

3

BP，∴BE=

1

3

BA=

3

3

，tan∠BCE=

3

3

，
∴∠BCE=∠ECA=30°=∠CAD，
∴EC∥AD，…②
又ME∩CE=E，PA∩DA=A，
∴平面MEC∥平面PAD，CM?平面MEC，CM?平面PAD，
∴CM∥平面PAD．

（2）解：過點A作平行于BC的直線交CD的延長線于G，
作BF∥CG，連接PF，
則∠PBF為異面直線BP與CD所成角，設∠PBF=θ，
AF=1，PB=

6

，BF=2，PF=2，
∴cosθ=

PB2+BF2-PF2

2PB•BF

=

6+4-4

2 6 ×2

=

6

4

．

點評：本題考查空間點、線、面的位置關(guān)系及學生的空間想象能力、求異面直線角的能力．在立體幾何中找平行線是解決問題的一個重要技巧，這個技巧就是通過三角形的中位線找平行線，如果試題的已知中涉及到多個中點，則找中點是出現(xiàn)平行線的關(guān)鍵技巧．