Question

9．在正方體ABCD-A′B′C′D′中，判斷下列命題是否正確，并說明理由：
（1）直線AC在平面ABCD內(nèi)；
（2）設(shè)上下底面中心為O，O′，則平面AA′C′C與平面BB′D′D的交線為OO′．
（3）點A，O，C′可以確定一平面．
（4）平面AB′C′與平面AC′D重合．

Answer 1

分析 （1）由題意可得A，C都在平面ABCD上，即可得解；
（2）利用正方體的性質(zhì)解得O，O′兩點都在平面AA′C′C與平面BB′D′D上，即可得證；
（3）根據(jù)平面公理，“過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面”，即可得出答案；
（4）由AD∥B′C′，可得A，D，B′，C′四點共面，即可得證．

解答 解：（1）正確，
∵A∈平面ABCD，C∈平面ABCD，
∴AC?平面ABCD．
（2）正確，
∵在正方體ABCD-A′B′C′D′中，AC∩BD=O，A′C′∩B′D′=O′，
∴O∈平面AA′C′C，O′∈平面AA′C′C，O′∈平面BB′D′D，O∈平面BB′D′D，
∴OO′?平面AA′C′C，OO′?平面BB′D′D，
∴平面AA′C′C與平面BB′D′D的交線為OO′．
（3）正確，
∵C′不在直線AO上，
∴點A，O，C′可以確定一平面．
（4）正確，
∵AD∥BC∥B′C′，
∴A，D，B′，C′四點共面，
∴平面AB′C′與平面AC′D重合．

點評 本題考查命題真假的判斷，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意平面的基本性質(zhì)及其推論的合理運用．