Question

一個(gè)空間用n個(gè)平面去劃分,最多能被分成幾部分?

      

Answer 1

解:借鑒移植例6的遞推法,利用例6的結(jié)果,分析探求如下:?

在空間只有當(dāng)僅僅三個(gè)平面才能交于一點(diǎn)(就是說(shuō),四個(gè)以上平面不能交于一點(diǎn))以及三個(gè)或三個(gè)以上的平面產(chǎn)生的交線互不平行的時(shí)候,用n個(gè)平面去劃分空間,才能使分得的空間塊的數(shù)目最多.因此,在后面的分析中,我們假設(shè)的這些條件都是滿足的.用V_n表示由n個(gè)平面去劃分空間時(shí)所得空間塊的數(shù)目.?

       類比例6,考查增加一個(gè)平面,可以把空間多分割出幾個(gè)空間塊,由于第n個(gè)平面與前n-1個(gè)平面相交,因此第n個(gè)平面上就有n-1條交線,這些交線滿足例6的假定條件,因此,根據(jù)例6的結(jié)論可知第n個(gè)平面被n-1條直線分成個(gè)平面塊,而每個(gè)平面塊把它所在的那個(gè)空間塊一分為二,于是增加了個(gè)空間塊.因此得到遞推公式V_n=V_n-1+.?

       在上式中分別令n=1,2,…,n,可得n個(gè)等式?

       V₁=1+1=1+,?

       V₂=V₁+,?

       V₃=V₂+,?

       ……?

       V_n=V_n-1+.?

       以上n個(gè)等式相加,可得?

       V_n=1+(1²+2²+…+n²)- (1+2+…+n)+n?

       =1+·.?

       故一個(gè)空間用n個(gè)平面去劃分,最多能被分成(n³+5n+6)個(gè)空間塊.?

       溫馨提示:在我們臨場(chǎng)解題遇到困難時(shí),往往退一步,可設(shè)法先解答一個(gè)比原問(wèn)題簡(jiǎn)單化的類比題.簡(jiǎn)化的辦法是或減小已知數(shù)據(jù),或減少字母?jìng)�(gè)數(shù),或簡(jiǎn)化問(wèn)題條件等等.簡(jiǎn)化類比題一般眉目清楚,容易找出解題思路,然后進(jìn)一步充分利用解簡(jiǎn)化題的信息——思路、方法、結(jié)果等,從而形成解答原問(wèn)題的有用的解題思路,或找到一種可以借鑒、移植的方法.