Question

“ac=bd”是“復(fù)數(shù)a+bi與c+di的積是純虛數(shù)”的（　�。�條件．

• A、充分必要
• B、充分不必要
• C、必要不充分
• D、既不充分也不必要

Answer 1

考點：必要條件、充分條件與充要條件的判斷

專題：數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)

分析：ac=bd時，（a+bi）（c+di）=（ac-bd）+（ad+bc）i=（ad+bc）i，該復(fù)數(shù)不一定是純虛數(shù)，當(dāng)ad+bc=0時就不是；若“復(fù)數(shù)a+bi與c+di的積是純虛數(shù)”時，（a+bi）（c+di）=（ac-bd）+（ad+bc）i，所以ac=bd，所以得到“ac=bd”是“復(fù)數(shù)a+bi與c+di的積是純虛數(shù)”的必要不充分條件．

解答： 解：（1）若ac=bd，則（a+bi）（c+di）=（ac-bd）+（ad+bc）i=（ad+bc）i，而（ad+bc）i不一定是純虛數(shù)，當(dāng)ad+bc=0時就不是；
∴“ac=bd”不是“復(fù)數(shù)a+bi與c+di的積是純虛數(shù)”的充分條件；
（2）若復(fù)數(shù)a+bi與c+di的積是純虛數(shù)，則由（a+bi）（c+di）=（ac-bd）+（ad+bc）i得：
ac-bd=0，即ac=bd；
∴“ac=bd”是“復(fù)數(shù)a+bi與c+di的積是純虛數(shù)”的必要條件；
綜上得“ac=bd”是“復(fù)數(shù)a+bi與c+di的積是純虛數(shù)”的必要不充分條件．
故選C．

點評：考查復(fù)數(shù)的概念，純虛數(shù)的概念，復(fù)數(shù)的乘法運算，以及充分條件、必要條件、必要不充分條件的概念．