Question

12．設a＞0，b＞0，求證：lg（1+$\sqrt{ab}$）≤$\frac{1}{2}$[lg（1+a）+lg（1+b）]．

Answer 1

分析 利用不等式的性質可得$a+b≥2\sqrt{ab}$，進一步得到$1+a+b+ab≥1+2\sqrt{ab}+ab$，即$（1+a）（1+b）≥（1+\sqrt{ab}）^{2}$，兩邊取對數(shù)得答案．

解答 證明：∵a＞0，b＞0，
∴$a+b≥2\sqrt{ab}$，則$1+a+b+ab≥1+2\sqrt{ab}+ab$，
即$（1+a）（1+b）≥（1+\sqrt{ab}）^{2}$，
∴l(xiāng)g[（1+a）（1+b）]$≥lg（1+\sqrt{ab}）^{2}$，
∴$\frac{1}{2}[lg（1+a）+lg（1+b）]≥lg（1+\sqrt{ab}）$，
即lg（1+$\sqrt{ab}$）≤$\frac{1}{2}$[lg（1+a）+lg（1+b）]．

點評 本題考查對數(shù)的運算性質，考查了基本不等式的性質，是基礎題．