Question

8．已知極坐標系的極點與直角坐標系的原點重合，極軸與x軸的正半軸重合，若直線l的極坐標方程為ρsin（θ-$\frac{π}{4}$）=3$\sqrt{2}$．
（1）把直線l的極坐標方程化為直角坐標系方程；
（2）已知P為曲線$\left\{\begin{array}{l}{x=4cosθ}\\{y=3sinθ}\end{array}\right.$，（θ為參數(shù)）上一點，求P到直線l的距離的最大值．

Answer 1

分析 （1）由ρsin（θ-$\frac{π}{4}$）=3$\sqrt{2}$展開化為：$\frac{\sqrt{2}}{2}$（ρsinθ-ρcosθ）=3$\sqrt{2}$，利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$即可化為直角坐標方程．
（2）P到直線l的距離d=$\frac{|4cosθ-3sinθ+6|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|5sin（θ+φ）-6|}{\sqrt{2}}$，再利用三角函數(shù)的單調性即可得出．

解答 解：（1）由ρsin（θ-$\frac{π}{4}$）=3$\sqrt{2}$展開化為：$\frac{\sqrt{2}}{2}$（ρsinθ-ρcosθ）=3$\sqrt{2}$，化為直角坐標方程：y-x=6，即x-y+6=0．
（2）P到直線l的距離d=$\frac{|4cosθ-3sinθ+6|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|5sin（θ+φ）-6|}{\sqrt{2}}$≤$\frac{11}{\sqrt{2}}$=$\frac{11\sqrt{2}}{2}$，當sin（θ+φ）=-1時，取等號．
∴P到直線l的距離的最大值為$\frac{11\sqrt{2}}{2}$．

點評 本題考查了極坐標化為直角坐標、三角函數(shù)的和差公式、點到直線的距離公式、橢圓的參數(shù)方程，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．