Question

1．已知△ABC的三邊所在的直線方程是AB：x+y+3=0，BC：3x-y+1=0，AC：3x+2y+1=0，求
（1）AB邊上的高CM所在直線方程；
（2）△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）由直線BC、AC的方程求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，利用AB⊥CM，求出斜率k_CM，寫出AB邊上的高CM的直線方程；
（2）求出點(diǎn)C到直線AB的距離d，再求出邊長|AB|，即可求出△ABC的面積．

解答 解：（1）由直線BC、AC的方程組成方程組$\left\{\begin{array}{l}{3x-y+1=0}\\{3x+2y+1=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{1}{3}}\\{y=0}\end{array}\right.$，
所以點(diǎn)C（-$\frac{1}{3}$，0）；              
又因?yàn)閗_AB=-1，AB⊥CM，所以k_CM=1，
所以AB邊上的高CM所在直線的方程為
y=x+$\frac{1}{3}$，即3x-3y+1=0；
（2）因?yàn)辄c(diǎn)C（-$\frac{1}{3}$，0）到直線AB的距離為
d=$\frac{|-\frac{1}{3}+3|}{\sqrt{2}}$=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$，
由直線AB、BC的方程組成方程組$\left\{\begin{array}{l}{x+y+3=0}\\{3x-y+1=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=-2}\end{array}\right.$，
所以點(diǎn)B（-1，-2）；
由直線AB、AC的方程組成方程組$\left\{\begin{array}{l}{x+y+3=0}\\{3x+2y+1=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=5}\\{y=-8}\end{array}\right.$，
所以A（5，-8）；
所以|AB|=$\sqrt{{（-1-5）}^{2}{+（-2+8）}^{2}}$=6$\sqrt{2}$，
∴△ABC的面積為
S_△ABC=$\frac{1}{2}$|AB|•d=$\frac{1}{2}$×6$\sqrt{2}$×$\frac{4\sqrt{2}}{3}$=8．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線方程的應(yīng)用問題，也考查了直線垂直以及兩點(diǎn)間的距離和點(diǎn)到直線的距離的計(jì)算問題，是基礎(chǔ)題目．