Question

已知向量=（2cosα，2sinα），=（3cosβ，3sinβ），若與的夾角為60°，則直線2xcosα-2ysinα+1=0與圓（x-cosβ）²+（y+sinβ）²=1的位置關系是（ ）
A．相交但不過圓心
B．相交且過圓心
C．相切
D．相離

Answer 1

【答案】分析：由已知利用向量的數(shù)量積的定義可求得cosαcosβ+sinαsinβ=，要判斷直線xcosα-ysinα+1=0與圓的位置關系，只要判斷圓心（cosβ，-sinβ）到直線xcosα-ysinα+1=0的距離d=|cosαcosβ+sinαsinβ+1|與圓的半徑的比較即可
解答：解：由題意可得||=2，，==2×3×=3
又=6cosαcosβ+6sinαsinβ=3，
∴cosαcosβ+sinαsinβ=，
圓（x-cosβ）²+（y+sinβ）²=1的圓心坐標為（cosβ，-sinβ），半徑為1；
∵圓心（cosβ，-sinβ）到直線2xcosα-2ysinα+1=0的距離
d===1；
∴直線2xcosα-2ysinα+1=0與圓（x-cosβ）²+（y+sinβ）²=1相切，
故選C．
點評：本題主要考查了向量的數(shù)量積的定義及坐標表示，直線與圓的位置關系的判斷，綜合應用向量，點到直線的距離公式等知識．