Question

12．?dāng)?shù)列{a_n}滿足a₁=2，a_n=4a_n-1+6．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）求數(shù)列{$\frac{2+{a}_{n}}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}前n項和為S_n．

Answer 1

分析 （1）通過a_n=4a_n-1+6（n≥2），變形可得a_n+2=4（a_n-1+2）（n≥2），利用a₁=2可得數(shù)列{a_n+2}是首項和公比均為4的等比數(shù)列，進而可得結(jié)論；
（2）通過a_n=4ⁿ-2，分離分母可得$\frac{2+{a}_{n}}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{{4}^{n}-2}$-$\frac{1}{{4}^{n+1}-2}$），并項相加即可．

解答 解：（1）∵a_n=4a_n-1+6（n≥2），
∴a_n+2=4（a_n-1+2）（n≥2），
又∵a₁=2，
∴a₁+2=4，
即數(shù)列{a_n+2}是首項和公比均為4的等比數(shù)列，
∴a_n+2=4•4^n-1=4ⁿ，
∴數(shù)列{a_n}的通項公式a_n=4ⁿ-2；
（2）∵a_n=4ⁿ-2，
∴$\frac{2+{a}_{n}}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{{4}^{n}}{（{4}^{n}-2）（{4}^{n+1}-2）}$=$\frac{{4}^{n}}{3•{4}^{n}}$（$\frac{1}{{4}^{n}-2}$-$\frac{1}{{4}^{n+1}-2}$）=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{{4}^{n}-2}$-$\frac{1}{{4}^{n+1}-2}$），
∴S_n=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{4-2}$-$\frac{1}{{4}^{2}-2}$+$\frac{1}{{4}^{2}-2}$-$\frac{1}{{4}^{3}-2}$+…+$\frac{1}{{4}^{n}-2}$-$\frac{1}{{4}^{n+1}-2}$）
=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{4-2}$-$\frac{1}{{4}^{n+1}-2}$）
=$\frac{1}{6}$-$\frac{1}{3}$•$\frac{1}{{4}^{n+1}-2}$．

點評 本題考查數(shù)列的通項及求和，對表達(dá)式的靈活變形是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．