Question

11．已知函數(shù)f（x）=3-x²+2lnx，數(shù)列{a_n}滿足：$\frac{3}{4}$＜a₁＜1，2${\;}^{{a}_{n+1}}$=f（a_n）（n∈N^*）（$\frac{37}{16}$+2ln3-4ln2＞2${\;}^{\frac{3}{4}}$）
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）求證：$\frac{3}{4}$＜a_n＜1．

Answer 1

分析 （1）對原函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，然后在定義域內(nèi)解不等式即可，然后寫出單調(diào)區(qū)間；
（2）結(jié)合（1）的結(jié)論，先由$\frac{3}{4}＜{a}_{1}＜1$結(jié)合已知條件得到a₂的范圍，以此類推即可求證$\frac{3}{4}{＜a}_{n}＜1$．

解答 解（1）易知函數(shù)的定義為（0，+∞）．
由已知得$f′（x）=-2x+\frac{2}{x}=\frac{-2（x+1）（x-1）}{x}$．
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f′（x）＞0，當(dāng)x＞1時(shí)，f′（x）＜0，
故f（x）在區(qū)間（0，1）上為增函數(shù)，在[1，+∞）上為減函數(shù)．
（2）由（1）可知函數(shù)f（x）在（$\frac{3}{4}$，1）上為增函數(shù)，因?yàn)?{a}_{1}∈（\frac{3}{4}，1）$．
因?yàn)?${\;}^{{a}_{n+1}}$=f（a_n）（n∈N^*）．
所以$f（\frac{3}{4}）＜f（{a}_{1}）＜f（1）$，即$\frac{39}{16}+2ln3-4ln2＜{2}^{{a}_{2}}＜{2}^{1}$，又因?yàn)?\frac{39}{16}$+2ln3-4ln2＞2${\;}^{\frac{3}{4}}$．
所以${2}^{\frac{3}{4}}＜{2}^{{a}_{2}}＜{2}^{1}$，所以$\frac{3}{4}＜{a}_{2}＜1$，
假設(shè)$\frac{3}{4}＜{a}_{n}＜1$，則$\frac{39}{16}+2ln3-4ln2＜f（{a}_{n}）＜2$，結(jié)合$\frac{39}{16}$+2ln3-4ln2＞2${\;}^{\frac{3}{4}}$．
所以${2}^{\frac{3}{4}}＜{2}^{{a}_{n+1}}＜2$，所以$\frac{3}{4}＜{a}_{n+1}＜1$．
所以對任意的n∈N^*都有$\frac{3}{4}＜{a}_{n}＜1$．

點(diǎn)評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的方法，注意定義域優(yōu)先的原則．第二問證明利用了數(shù)學(xué)歸納法的推理方法．