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設(shè)n∈N*，證明4×6n＋5n+1除以20的余數(shù)為9．

答案：
解析：

　　證明：(1)當(dāng)n＝1時，4×61＋52＝24＋25＝49＝2×20＋9命題成立．

　　(2)假設(shè)當(dāng)n＝k時命題成立，即4×6k＋5k+1被20除余9，即4×6k＋5k+1－9被20整除，

　　則當(dāng)n＝k＋1時，4×6k+1＋5k+2－9

　�。�6×(4×6k＋5k+1－9)－6×5k+1＋5k+2＋45

　�。�6×(4×6k＋5k+1－9)＋45－5k+1．

　　∵6×(4×6k＋5k+1－9)被20整除，只需證45－5k+1被20整除．

　　①當(dāng)n＝1時，451－51+1＝45－25＝20被20整除成立；

　�、诩僭O(shè)當(dāng)n＝k時成立，即45－5k+1被20整除，

　　則當(dāng)n＝k＋1時，45－5k+2＝(45－5k+1)×5－180能被20整除，∴當(dāng)n＝k＋1時成立．

　　∴45－5k+1都能被20整除．

　　∴當(dāng)n＝k＋1時原命題成立．

　　由(1)(2)可知命題成立．

　　思路分析：本題研究余數(shù)問題實質(zhì)上是20的倍數(shù)再加9．也可看作是4×6n＋5n+1－9被20整除．整除性問題可用數(shù)學(xué)歸納法證明．


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2-4，設(shè)曲線y=f（x）在點（xn，f（xn））處的切線與x軸的交點為（xn+1，0）（n∈N*），其中x1為正實數(shù)．
（Ⅰ）用xn表示xn+1；
（Ⅱ）若x1=4，記an=lg
xn+2xn-2
，證明數(shù)列{an}成等比數(shù)列，并求數(shù)列{xn}的通項公式；
（Ⅲ）若x1=4，bn=xn-2，Tn是數(shù)列{bn}的前n項和，證明Tn＜3．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

有n個首項都是1的等差數(shù)列，設(shè)第m個數(shù)列的第k項為amk（m，k=1，2，3，…，n，n≥3），公差為dm，并且a1n，a2n，a3n，…，ann成等差數(shù)列．
（Ⅰ）證明dm=p1d1+p2d2（3≤m≤n，p1，p2是m的多項式），并求p1+p2的值；
（Ⅱ）當(dāng)d1=1，d2=3時，將數(shù)列dm分組如下：（d1），（d2，d3，d4），（d5，d6，d7，d8，d9），…（每組數(shù)的個數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列）．設(shè)前m組中所有數(shù)之和為（cm）4（cm＞0），求數(shù)列{2cmdm}的前n項和Sn．
（Ⅲ）設(shè)N是不超過20的正整數(shù)，當(dāng)n＞N時，對于（Ⅱ）中的Sn，求使得不等式
150
(Sn-6)＞dn成立的所有N的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2-4，設(shè)曲線y=f（x）在點（xn，f（xn））處的切線與X軸的交點為（xn+1，0）（n∈N*，xn為正數(shù)）．
（1）試用xn表示xn+1；
（2）若x1=4，記an=lg
xn+2xn-2
，證明{an}是等比數(shù)列，并求數(shù)列{xn}的通項公式．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}中，a0=2，a1=3，a2=6，且對n≥3時，有an=（n+4）an-1-4nan-2+（4n-8）an-3．
（Ⅰ）設(shè)數(shù)列{bn}滿足bn=an-nan-1，n∈N*，證明數(shù)列{bn+1-2bn}為等比數(shù)列，并求數(shù)列{bn}的通項公式；
（Ⅱ）記n×（n-1）×…×2×1=n!，求數(shù)列{nan}的前n項和Sn．

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