Question

已知圓O的半徑為1，半徑OA、OB的夾角為θ（0＜θ＜π），θ為常數(shù)，點C為圓O上的動點，若，則x+y的最大值為________．

Answer 1

分析：利用向量的模的運算性質(zhì)與向量的數(shù)量積可求得x+y與θ的關(guān)系式，利用基本不等式與三角函數(shù)的升冪公式及可求得答案．
解答：∵圓O的半徑為1，半徑OA、OB的夾角為θ（0＜θ＜π），點C為圓O上的動點，=x+y（x，y∈R），
∴==x²+2xycosθ+y²=1，
∴（x+y）²-2xy+2xycosθ=1，
∴2xy（1-cosθ）=（x+y）²-1，
∵0＜θ＜π，
∴1-cosθ≠0，
∴2xy=，不妨令x＞0，y＞0，
則2xy=≤2×，令t=x+y（x＞0，y＞0），
則t²-1≤t²（1-cosθ），
整理得：t²≤==，
∴0＜t≤．
即x+y≤．
故答案為：．
點評：本題考查向量的模的運算性質(zhì)與向量的數(shù)量積，著重考查基本不等式與三角函數(shù)的升冪公式的應(yīng)用，考查換元思想與化歸思想，屬于難題．