Question

已知函數(shù)f（x）=x²+2ax+2，x∈[-5，5]．
（1）求實數(shù)a的范圍，使y=f（x）在區(qū)間[-5，5]上是單調(diào)遞增函數(shù)．
（2）求f（x）的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）先找到其對稱軸，再根據(jù)開口向上的二次函數(shù)在對稱軸右邊遞增即可求出實數(shù)a的范圍；
（2）根據(jù)對稱軸和區(qū)間的位置關(guān)系分三種情況討論，即可求出f（x）的最小值．
解答：解：（1）因為f（x）是開口向上的二次函數(shù)，且對稱軸為x=-a，為了使f（x）在[-5，5]上是增函數(shù)，故-a≤-5，即a≥5（5分）
（2）當-a≤-5，即a≥5時，f（x）在[-5，5]上是增函數(shù)，所以f_min（x）=f（-5）=27-10a
當-5＜-a≤5，即-5≤a＜5時，f（x）在[-5，-a]上是減函數(shù)，在[-a，5]上是增函數(shù)，所以f_min（x）=f（-a）=2-a²
當-a＞5，即a＜-5時，f（x）在[-5，5]上是減函數(shù)，所以f_min（x）=f（5）=27+10a
綜上可得
點評：本題主要考察二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題．二次函數(shù)y=ax²+bx+c，（a＞0），在定區(qū)間[m，n]上，[1]當m≥-時，對稱軸在區(qū)間左側(cè)，f （x）在[m，n]上遞增，則f （x）的最大值為f （n），最小值為f （m）；[2]當n≤-時，對稱軸在區(qū)間右側(cè)，f （x） 在[m，n]上遞減，，則f （x）的最大值為f （m），最小值為f（n）；[3]當-∈（m，n）時，則f（x）的最小值為f （-）；在[m，-]上函數(shù)f （x）遞減，則f （x）的最大值為f （m），在[-，n]上函數(shù)f （x）遞增，則f （x）的最大值為f （n），比較f （m）與f （n）的大小即得．