Question

15．（1）（用分析法證明）$\sqrt{3}+\sqrt{8}＜2+\sqrt{7}$
（2）若a＞0，b＞0，c＞0，且a+b+c=1求證：$\frac{1}{a}+\frac{1}+\frac{1}{c}≥9$．

Answer 1

分析 （1）用分析法時(shí)行等價(jià)轉(zhuǎn)化證明即可，先兩邊平方，再進(jìn)行化簡(jiǎn)；
（2）利用基本不等式即可證明．

解答 證明：（1）要證原不等式成立，
兩邊平方，只證$2\sqrt{24}＜4\sqrt{7}$
即證24＜28，
∵上式顯然成立
∴原不等式成立；
（2）a，b，c均為正實(shí)數(shù)，a+b+c=1，
∴$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$+$\frac{1}{c}$=（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$+$\frac{1}{c}$）（a+b+c）=3+（$\frac{a}$+$\frac{a}$）+（$\frac{c}{a}+\frac{a}{c}$）+（$\frac{c}+\frac{c}$）≥3+2+2+2=9，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=$\frac{1}{3}$時(shí)取等號(hào)，
故：$\frac{1}{a}+\frac{1}+\frac{1}{c}≥9$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了基本不等式的應(yīng)用和分析法證明不等式，當(dāng)用綜合法不易發(fā)現(xiàn)解題途徑時(shí)，我們可以從求證的不等式出發(fā)，逐步分析尋求使這個(gè)不等式成立的充分條件，直至所需條件為已知條件或一個(gè)明顯成立的事實(shí)，從而得出要證的不等式成立，這種執(zhí)果所因的思考和證明方法叫做分析法．