Question

（2012•孝感模擬）數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=npa_n（n∈N^*），并且a₁≠a₂．
（I）求P的值；
（II）作函數(shù)f（x）=a₂x²+a₃x²+…+a_n+1xⁿ，如果S₁₀=45，證明：，f（

1

3

）＜

3

4

．

Answer 1

分析：（I）由S_n=npa_n（n∈N^*），得到a₁=0，a₂≠0，由此能求出p．
（II）由Sn+1=

1

2

(n+1)an+1，Sn=

1

2

nan，知an+1=

1

2

(n+1)an+1-

1

2

nan，由此導(dǎo)出f（

1

3

）=

1

3

+

2

32

+…+

n

3n

，再由錯(cuò)位相減法能夠證明f（

1

3

）＜

3

4

．

解答：解：（I）∵S_n=npa_n（n∈N^*），
∴a₁=S₁=pa₁，若a₁≠0，則p=1，
由a₁+a₂=S₂=2pa₂，
得a₁=a₂，矛盾，故a₁=0，a₂≠0，
∵a₁+a₂=S₂=2pa₂，
∴p=

1

2

．
（II）∵Sn+1=

1

2

(n+1)an+1，Sn=

1

2

nan，
∴an+1=

1

2

(n+1)an+1-

1

2

nan，
（n-1）a_n+1=na_n，
當(dāng)k≥2時(shí)，

ak+1

ak

=

k

k-1

，
∴n≥3時(shí)，有an=

an

an-1

×

an-1

an-2

×…×

a3

a2

×a2=（n-1）a₂，
∴對(duì)一切n∈N^*，有a_n=（n-1）a₂，
∵45=S₁₀=10×

1

2

×a₁₀=45a₂，
∴a₂=1，a_n=n-1（n∈N^*），
故f（x）=x+2x²+…+nxⁿ，
∴f（

1

3

）=

1

3

+

2

32

+…+

n

3n

，

1

3

f(

1

3

)=

1

32

+

2

33

+…+

n

3n+1

，
∴

2

3

f(

1

3

)=

1

3

+

1

32

+…+

1

3n

-

n

3n+1

，
∴f（

1

3

）=

3

4

-

2n+3

4×3n

，
故f（

1

3

）＜

3

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的綜合運(yùn)用，有一定的探索性，對(duì)數(shù)學(xué)思想的要求較高，綜合性強(qiáng)，難度大，是高考的重點(diǎn)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意錯(cuò)位相減法的合理運(yùn)用．