Question

如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD為矩形，側棱PA⊥底面ABCD，AB=，BC=1，PA=2，E為PD的中點.

（1）求直線AC與PB所成角的余弦值；

（2）在側面PAB內找一點N，使NE⊥面PAC，并求出N點到AB和AP的距離.

Answer 1

思路分析：本題可以通過建立空間直角坐標系來解決.要求兩條直線所成的角，可以考慮求相關的向量的夾角；要使得線面垂直，圍繞著線面垂直的判定定理來考慮，轉而去證明向量間的垂直，從而將問題解決.

解：（1）建立如圖所示的空間直角坐標系，則A、B、C、D、P、E的坐標為A（0，0，0）、B（，0，0）、C（，1，0）、D（0，1，0）、P（0，0，2）、E（0，，1）.

    從而=（，1，0），=（，0，-2）.

    設與的夾角為θ，則有

cosθ==

∴AC與PB所成角的余弦值為.

 （2）由于N點在側面PAB內，故可設N點坐標為（x,O,z)，則=（-x,,1-z).

    由NE⊥平面PAC,可得

即

    化簡，得

∴即N點的坐標為（，0，1）.從而N點到AB和AP的距離分別為，1.

誤區(qū)警示 有關求空間的兩條直線的夾角問題，可以考慮去求相關的向量的夾角，從而得出結論.不過，要注意的是由向量的夾角得到對應直線的所成的角過程中，由于向量的夾角范圍是［0，π］，而直線所成的角的范圍是［0，］，因此在作結論時，要注意如果求得的向量的夾角大于，此時對應的直線所成的角是這個角的補角；如果求得的向量的夾角不大于，此時對應的直線所成的角等于這個角.