Question

【題目】已知函數(shù)

(I)求函數(shù)在點(diǎn)(1，0)處的切線方程；

(II)設(shè)實(shí)數(shù)k使得f(x)< kx恒成立，求k的范圍；

(III)設(shè)函數(shù)，求函數(shù)h(x)在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）見(jiàn)解析。

【解析】分析：（I）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可．（II）分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為恒成立求解．令，可求得函數(shù)的最大值為，進(jìn)而可得結(jié)論．（III）由分離參數(shù)可得，借助（II）中的結(jié)論并結(jié)合函數(shù)的圖象根據(jù)數(shù)形結(jié)合的方法可得函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

詳解：（I）∵，

∴，

∴，

∴所求切線方程為，

即．

（II）由題意得恒成立等價(jià)于對(duì)恒成立．

令，則，

當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，

∴當(dāng)時(shí)，有最大值，且最大值為，

∴．

∴實(shí)數(shù)k的范圍是．

（III）由，即，

得，

∴函數(shù)h(x)在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即為函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象在上的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

由（II）得函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且的最大值為，

又，．

∴當(dāng)或者時(shí)，函數(shù)有0個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)或者時(shí)，函數(shù)有1個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)．