Question

5．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的一個焦點為F（2，0），且過點（0，$\sqrt{2}$）．
（1）求此橢圓的方程；
（2）是否存在過點F且斜率為k的直線l與橢圓C交于A，B兩點，使得∠AOB為銳角？若存在，求實數(shù)k的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）通過聯(lián)立焦點為F（2，0），且過點（0，$\sqrt{2}$）計算即得結(jié)論；
（2）假設(shè)存在滿足條件的直線l的方程為y=k（x-2），并與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理代入解不等式$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$＞0，計算即得結(jié)論．

解答 解：（1）依題意，$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-^{2}={2}^{2}}\\{0+\frac{2}{^{2}}=1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}=6}\\{^{2}=2}\end{array}\right.$，
∴橢圓的方程為：$\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$；
（2）結(jié)論：存在過點F且斜率為k的直線l與橢圓C交于A，B兩點，使得∠AOB為銳角．
理由如下：
假設(shè)存在滿足條件的直線l的方程為：y=k（x-2），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-2）}\\{\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，消去y整理得：
（1+3k²）x²-12k²x+12k²-6=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=$\frac{12{k}^{2}}{1+3{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{12{k}^{2}-6}{1+3{k}^{2}}$，
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂
=x₁x₂+k²（x₁-2）（x₂-2）
=$（1+{k}^{2}）{x}_{1}{x}_{2}-2{k}^{2}（{x}_{1}+{x}_{2}）+4{k}^{2}$
=（1+k²）•$\frac{12{k}^{2}-6}{1+3{k}^{2}}$-2k²•$\frac{12{k}^{2}}{1+3{k}^{2}}$+4k²
=$\frac{10{k}^{2}-6}{1+3{k}^{2}}$
＞0，
即10k²＞6，解得：k＜-$\frac{\sqrt{15}}{5}$或x＞$\frac{\sqrt{15}}{5}$．

點評 本題考查直線與圓錐曲線的關(guān)系，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．