Question

（2013•朝陽(yáng)區(qū)二模）已知函數(shù)f（x）=

ax

x2+1

+a，g（x）=alnx-x（a≠0）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）求證：當(dāng)a＞0時(shí)，對(duì)于任意x₁，x₂∈（0，e]，總有g(shù)（x₁）＜f（x₂）成立．

Answer 1

分析：（I）先求函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，再對(duì)字母a進(jìn)行分類討論，根據(jù)導(dǎo)數(shù)大于0函數(shù)單調(diào)遞增，導(dǎo)數(shù)小于0時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減可得答案．
（Ⅱ）欲證當(dāng)a＞0時(shí)，對(duì)于任意x₁，x₂∈（0，e]，總有g(shù)（x₁）＜f（x₂）成立，只須證明對(duì)于任意x₁，x₂∈（0，e]，總有g(shù)（x）_max＜f（x）_min．由（Ⅰ）可知，當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，f（x）在（1，e]上單調(diào)遞減，從而有f（x）_min=a，同樣地利用導(dǎo)數(shù)可得，當(dāng)a＞0時(shí)，g（x）在（0，a）上單調(diào)遞增，g（x）在（a，e]上單調(diào)遞減，從而g（x）_max=g（a）=alna-a，最后利用作差法即可得到g（x）_max＜f（x）_min．

解答：解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，f′(x)=

a(1-x2)

(x2+1)2

=

a(1-x)(1+x)

(x2+1)2

．
當(dāng)a＞0時(shí)，
當(dāng)x變化時(shí)，f'（x），f（x）的變化情況如下表：

x	（-∞，-1）	-1	（-1，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	-	0	+	0	-
f（x）	↘		↗		↘

當(dāng)a＜0時(shí)，
當(dāng)x變化時(shí)，f'（x），f（x）的變化情況如下表：

x	（-∞，-1）	-1	（-1，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗		↘		↗

綜上所述，
當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-1，1），單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，-1），（1，+∞）；
當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-1），（1，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（-1，1）．
…（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，f（x）在（1，e]上單調(diào)遞減，
又f（0）=a，f（e）=f(e)=

ae

e2+1

+a＞a
所以f（x）_min=a，
同樣地，當(dāng)a＞0時(shí)，g（x）在（0，a）上單調(diào)遞增，g（x）在（a，e]上單調(diào)遞減，
所以g（x）_max=g（a）=alna-a，
因?yàn)閍-（alna-a）=a（2-lna）＞a（2-lne）=a＞0，
所以對(duì)于任意x₁，x₂∈（0，e]，總有g(shù)（x）_max=g（e）=alna-a＜a=f（x）_min．
所以對(duì)于任意x₁，x₂∈（0，e]，仍有x₁，x₂∈（0，e]．
綜上所述，對(duì)于任意x₁，x₂∈（0，e]，總有g(shù)（x₁）＜f（x₂）成立．…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．