Question

已知g（x）=

x

+1，h（x）=

1

x+3

，x∈（-3，a²]（a為常數且a＞0）．令f（x）=g（x）•h（x）
（1）求f（x）的表達式；
（2）求f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）已知兩函數相乘可得f（x）=g（x）•h（x）的解析式，注意定義域即可；（2）換元，令

x

+1=t，代入已知函數可得y=

1

t+ 4 t -2

，構造函數F（t）=t+

4

t

，t∈[1，a+1]，求導數可得單調性，分類討論可得函數的值域．

解答：解：（1）∵g（x）=

x

+1，h（x）=

1

x+3

，x∈（-3，a²]，
∴f（x）=g（x）•h（x）=

x +1

x+3

，x∈[0，a²]，
（2）令

x

+1=t，則t∈[1，a+1]，x=（t-1）²，
代入已知函數可得y=

t-1+1

(t-1)2+3

=

t

t2-2t+4

=

1

t+ 4 t -2

，
令F（t）=t+

4

t

，t∈[1，a+1]，求導數可得F′（t）=1-

4

t2

，
令F′（t）=1-

4

t2

＜0可得t＜2，結合t的范圍可得
F（t）=t+

4

t

，在t∈[1，2]單調遞增，[2，+∞）單調遞減，
∴當a+1≤2，即a≤1時，t=a+1時，y取最大值

a+1

a2+3

，
同理當a+1＞2，即a＞1時，若1＜a≤3，則y最大值為

1

2

，最小值為

1

3

若a＞3，y最大值為

1

2

，最小值為

a+1

a2+3

點評：本題考查函數解析式的求解，涉及函數的值域以及分類討論的思想，屬中檔題．