Question

已知等差數列{a_n}中，a₁=1，a₃=-3．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）若數列{a_n}的前k項和S_k=-35，求k的值；
（3）設b_n=2ⁿ•a_n，求數列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數列的求和

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）利用等差數列的通項公式即可得出；
（2）利用等差數列的前n項和公式即可得出；
（3）利用“錯位相減法”、等比數列前n項和公式即可得出．

解答： 解：（1）設公差為d，則a₃=a₁+2d=-3，
∴1+2d=-3，
解得d=-2．
∴a_n=1-2（n-1）=3-2n．
（2）Sn=

n(a1+an)

2

=

n(1+3-2n)

2

=-n²+2n，
∵S_k=-35，
∴-k²+2k=-35，
化為k²-2k-35=0，
解得k=7．
∴k=7．
（3）b_n=2ⁿ•a_n=（3-2n）•2ⁿ，
∴T_n=1×2¹-2²-3•2³-…-（2n-3）•2ⁿ，
2T_n=2²-2³-3×2⁴-…-（2n-5）•2ⁿ-（2n-3）•2ⁿ⁺¹，
∴-T_n=2-2×2²-2×2³-…-2•2ⁿ+（2n-3）•2ⁿ⁺¹
=6-2（2+2²+2³+…+2ⁿ）+（2n-3）•2ⁿ⁺¹，
=6-2×

2(2n-1)

2-1

+（2n-3）•2ⁿ⁺¹，
∴T_n=-10+2ⁿ⁺²+（3-2n）•2ⁿ⁺¹．

點評：本題考查了“錯位相減法”、等差數列與等比數列通項公式及其前n項和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．