Question

如圖，在直三棱柱中，平面側(cè)面，且

（1） 求證：；

（2）若直線與平面所成的角為，求銳二面角的大小.

 

 

Answer 1

（1）詳見解析；（2）

【解析】

試題分析：（1） 取的中點(diǎn)，連接，要證 ,只要證 平面

由直三棱柱的性質(zhì)可知 ,只需證，因此只要證明平面

事實(shí)上，由已知平面側(cè)面，平面，且

所以平面成立，于是結(jié)論可證.

（2） 思路一：連接，可證即為直線與所成的角，則

過點(diǎn)A作于點(diǎn)，連，可證即為二面角的一個(gè)平面角.在直角中 ，即二面角的大小為

思路二：以點(diǎn)為原點(diǎn)，以所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系

設(shè)平面的一個(gè)法向量，平面的一個(gè)法向量為，利用向量的數(shù)量積求出這兩個(gè)法向量的坐標(biāo)，進(jìn)而利用法向量的夾角求出銳二面角的大小.

試題解析：.解（1）證明：如圖，取的中點(diǎn)，連接，

因，則

由平面側(cè)面，且平面側(cè)面，

得，又平面， 所以.

因?yàn)槿�棱�?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015021406042249196402/SYS201502140604367737860006_DA/SYS201502140604367737860006_DA.048.png">是直三棱柱，則，所以.

又，從而側(cè)面 ，又側(cè)面，故.

解法一：連接，由（1）可知，則是在內(nèi)的射影

∴ 即為直線與所成的角，則

在等腰直角中，，且點(diǎn)是中點(diǎn)，∴ ，且， ∴

過點(diǎn)A作于點(diǎn)，連，由（1）知，則，且

∴ 即為二面角的一個(gè)平面角

且直角中：，又，

∴ ，

且二面角為銳二面角 ∴ ，即二面角的大小為

解法二（向量法）：由（1）知且，所以以點(diǎn)為原點(diǎn)，以所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，且設(shè)，則，，，，，，，

設(shè)平面的一個(gè)法向量，由， 得：

令 ，得 ，則

設(shè)直線與所成的角為，則

得，解得，即

又設(shè)平面的一個(gè)法向量為，同理可得，

設(shè)銳二面角的大小為，則

，且，得

∴ 銳二面角的大小為.

考點(diǎn)：1、空間直線、平面的位置關(guān)系；2、空間向量在立體幾何問題中的應(yīng)用.