Question

（2009•長(zhǎng)寧區(qū)一模）已知向量

m

=（

3

sin2x-1，cosx），

n

=（1，2cosx），設(shè)函數(shù)f(x)=

m

•

n

．
（1）求函數(shù) f（x）的最大值和最小正周期；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）由已知中量

m

=（

3

sin2x-1，cosx），

n

=（1，2cosx），函數(shù)f(x)=

m

•

n

．根據(jù)平面向量的數(shù)量積公式，結(jié)合降冪公式（二倍角公式逆用）及輔助角公式，我們易將函數(shù)的解析式化為正弦型函數(shù)的形式，進(jìn)而根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì)，我們可以求出函數(shù) f（x）的最大值和最小正周期；
（2）由（1）中函數(shù)的解析式，結(jié)合正弦型函數(shù)的單調(diào)性，我們易求出函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

解答：解：（1）f(x)=

3

sin2x-1+2cos2x（2分）
=2sin(2x+

π

6

)．        （3分）
∵-1≤sin(2x+

π

6

)≤1，
∴f_max=2（6分）
最小正周期為T=

2π

2

=π．           （8分）
（2）由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，(k∈Z)．           （12分）
∴kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，（14分）
函數(shù)遞增區(qū)間為[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

](k∈Z)（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，正弦型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，函數(shù)圖象的平移變換法則，其中根據(jù)平面向量的數(shù)量積公式和輔助角公式，求出函數(shù)的解析式是解答本題的關(guān)鍵．