Question

18．已知$\overrightarrow{a}$=（3，4），$\overrightarrow$=（cosθ，sinθ）（θ∈R）．則|$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$|的取值范圍[3，7]．

Answer 1

分析 利用向量模的性質(zhì)：向量模的平方等于向量的平方，利用向量的數(shù)量積公式及三角函數(shù)的差角的余弦公式求出向量的模的取值范圍．

解答 解：$\overrightarrow{a}$=（3，4），$\overrightarrow$=（cosθ，sinθ）（θ∈R），
∴$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$=（3-2cosθ，4-2sinθ），
∴|$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$|²=（3-2cosθ）²+（4-2sinθ）²=29-4（3cosθ+4sinθ）=-20sin（θ+φ）+29，其中tanφ=$\frac{3}{4}$，
∵-1≤sin（θ+φ）≤1，
∴9≤-20sin（θ+φ）+29≤49，
∴|$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$|的取值范圍為[3，7]，
故答案為：[3，7]．

點評 本題考查向量模的平方等于向量的平方、向量的數(shù)量積公式、三角函數(shù)的和差角公式．