Question

9．設(shè)等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，已知公差d＜0，S₃=12，且2a₁，a₂，a₃+1成等比數(shù)列；
（1）當(dāng)n取何值時，S_n有最大值，最大值是多少？
（2）設(shè)T_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|，求T₁₀的值．

Answer 1

分析 （1）利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式可得a_n，令a_n≥0，解得n，即可S_n的最大值．
（2）由（1）可得：n≤3時，a_n≥0；n≥4時，a_n＜0．等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n=10n-2n²．可得T₁₀=a₁+a₂+a₃-a₄-…-a₁₀=2S₃-S₁₀．

解答 解：（1）∵2a₁，a₂，a₃+1成等比數(shù)列；
∴${a}_{2}^{2}$=2a₁（a₃+1），
∴$（{a}_{1}+d）^{2}=2{a}_{1}（{a}_{1}+d+1）$，
又S₃=12，∴3a₁+3d=12，即a₁+d=4，
及d＜0，聯(lián)立解得a₁=8，d=-4．
∴a_n=8-4（n-1）=12-4n．
令a_n≥0，解得n≤3．
∴當(dāng)n=2，或3時，S_n有最大值，最大值是S₂=S₃=12．
（2）由（1）可得：n≤3時，a_n≥0；n≥4時，a_n＜0．
等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n=8n-4×$\frac{n（n-1）}{2}$=10n-2n²．
∴T₁₀=a₁+a₂+a₃-a₄-…-a₁₀
=2S₃-S₁₀
=2×12-（10×10-2×10²）
=124．

點評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、含絕對值數(shù)列求和問題，考查了分類討論方法、推理能力與計算能力，屬于中檔題．