Question

20．設(shè)0＜x＜1，則函數(shù)y=$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{1-x}$的值域為[4，+∞）．

Answer 1

分析 由已知可得0＜1-x＜1，可得y=$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{1-x}$=[x+（1-x）]（$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{1-x}$）=2+$\frac{1-x}{x}$+$\frac{x}{1-x}$，整體利用基本不等式可得．

解答 解：∵0＜x＜1，∴0＜1-x＜1，
∴y=$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{1-x}$=[x+（1-x）]（$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{1-x}$）
=2+$\frac{1-x}{x}$+$\frac{x}{1-x}$≥2+2$\sqrt{\frac{1-x}{x}•\frac{x}{1-x}}$=4，
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{1-x}{x}$=$\frac{x}{1-x}$即x=$\frac{1}{2}$時取等號，
故函數(shù)y=$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{1-x}$的值域為[4，+∞），
故答案為：[4，+∞）．

點評 本題考查基本不等式求最值，整體湊出可用基本不等式的形式是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題．