Question

6．設數列{a_n}的各項均為正數，前n項和S_n滿足S_n=$\frac{1}{6}$（a_n²+3a_n-4），則a_n=3n+1．

Answer 1

分析 由6S_n=a_n²+3a_n-4可推出$6{a_{n+1}}=a_{n+1}^2-a_n^2+3{a_{n+1}}-3{a_n}$，從而可得a_n+1-a_n=3，從而求{a_n}的通項公式．

解答 解：當n=1時，6S₁=a₁²+3a₁-4，
即a₁²-3a₁-4=0，得a₁=4或a₁=-1（舍）．
由題意得：6S_n+1=a_n+1²+3a_n+1-4，…①，
6S_n=a_n²+3a_n-4，…②
①-②得：$6{a_{n+1}}=a_{n+1}^2-a_n^2+3{a_{n+1}}-3{a_n}$，
即（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n-3）=0，
∵a_n＞0，∴a_n+1-a_n=3，
∴{a_n}是以4為首項，3為公差的等差數列，
∴a_n=4+3（n-1）=3n+1．
故答案為：3n+1．

點評 本題考查數列的通項公式的求法，解題時要認真審題，屬于中檔題．