Question

如圖,已知圓C：（x-1）²+(y-2)²=2,點(diǎn)P（2，-1）,過(guò)P點(diǎn)作圓C的切線PA、PB，A、B為切點(diǎn).

（1）求PA、PB所在直線的方程；

（2）求切線長(zhǎng)|PA|；

（3）求∠APB的正弦值；

（4）求AB的方程.

Answer 1

思路解析：求切線可用圓心到直線的距離等于半徑;求AB的方程可以設(shè)而不求，也可兩式相減.

(1)解：設(shè)切線的斜率為k.

∵切線過(guò)點(diǎn)P(2，-1)，∴切線的方程為y+1＝k(x-2)，

即kx-y-2k-1=0.

又C(1，2)，半徑r=，

由點(diǎn)到直線的距離公式,得＝.

解之,得k=7或k＝-1.

故所求切線PA、PB的方程分別是x+y-1＝0和7x-y-15＝0.

(2)解：連結(jié)AC、PC，則AC⊥AP.

在Rt△APC中，|AC|=，|PC|=＝，

∴|PA|==＝2.

(3)解：連結(jié)CB，則CB⊥BP.

由△APC≌△BPC知，∠APC=∠BPC,

∴∠APB＝2∠APC.

∴sin∠APB=sin2∠APC=2sin∠APC·cos∠APC=2××=.

(4)解法一：設(shè)A(x₁，y₁)、B(x₂，y₂)，

則(x₁-1)²+(y₁-2)²＝2，(x₂-1)²+(y₂-2)²＝2.

∵CA⊥AP，∴k_AC·k_AP=-1，即·=-1.

∴(y₁-2)(y₁+1)＝-(x₁-1)(x₁-2).

變形,得(y₁-2)(y₁-2+3)=-(x₁-1)(x₁-1-1)，

(y₁-2)²+(x₁-1)²+3(y₁-2)-(x₁-1)＝0.

∵(x₁-1)²+(y₁-2)²=2，

∴上式可化簡(jiǎn)為x₁-3y₁+3=0.

同理可得x₂-3y₂+3=0.

∵A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程x-3y+3＝0，

∴直線AB的方程是x-3y+3＝0.

解法二:∵∠CAP=∠CBP=90°，

∴A、B兩點(diǎn)在以CP為直徑的圓上.

∵CP的中點(diǎn)坐標(biāo)為(，)，即(，).

又|CP|=，∴以CP為直徑的圓的方程為

(x-)²+(y-)²=()²，即x²+y²-3x-y=0.①

又圓C：(x-1)²+(y-2)²=2的一般方程為x²+y²-2x-4y+3=0.②

②-①,得x-3y+3=0為直線AB的方程.

深化升華

    凡與圓的切線有關(guān)的題目，常用切線與過(guò)切點(diǎn)的半徑垂直這一性質(zhì)解題.因此，求切線的方程可用點(diǎn)到直線的距離公式；求切線長(zhǎng)可用勾股定理；求兩切點(diǎn)所在直線的方程，方法有三：一是設(shè)而不求法；二是兩式相減法；三是求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，應(yīng)用兩點(diǎn)間的距離公式.例題中選擇了前兩種方法供借鑒.