Question

設m∈R，在平面直角坐標系中，已知向量=（mx，y+1），向量=（x，y-1），，動點M（x，y）的軌跡為E，
（1）求軌跡E的方程，并說明該方程所表示曲線的形狀；
（2）已知m=，證明：存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與軌跡E恒有兩個交點A，B，且OA⊥OB(O為坐標原點)，并求出該圓的方程；
(3)已知m=，設直線l與圓C：x²+y²=R²(1＜R＜2)相切于A₁，且l與軌跡E只有一個公共點B₁，當R為何值時，|A₁B₁|取得最大值？并求最大值。

Answer 1

解：（1）因為，
所以，即，
當m=0時，方程表示兩直線，方程為y=±1；
當m=1時，方程表示的是圓；
當m＞0且m≠1時，方程表示的是橢圓；
當m＜0時，方程表示的是雙曲線；
（2）當時，軌跡E的方程為，
設圓心在原點的圓的一條切線為y=kx+t，
解方程組得，
即，
要使切線與軌跡E恒有兩個交點A，B，
則使△=，
即，且，
，
要使，需使，
即，
所以，
所以又因為直線y=kx+t為圓心在原點的圓的一條切線，
所以圓的半徑為，，
所求的圓為；
當切線的斜率不存在時，切線為，
與交于點也滿足OA⊥OB；
綜上， 存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A，B，且。
（3）當時，軌跡E的方程為，
設直線l的方程為y=kx+t，因為直線l與圓C：(1＜R＜2)相切于A₁，
由（2）知， ①
因為l與軌跡E只有一個公共點B₁，
由（2）知得，
即有唯一解，
則△=，
即， ②
由①②得，此時A，B重合為B₁(x₁，y₁)點，
由中，
所以，，
B₁(x₁，y₁)點在橢圓上，所以，
所以，
在直角三角形OA₁B₁中，
，
因為當且僅當時取等號，
所以，
即當時，|A₁B₁|取得最大值，最大值為1。