Question

橢圓C的焦點在x軸上，焦距為2，直線n：x-y-1=0與橢圓C交于A、B兩點，F(xiàn)₁是左焦點，且F₁A⊥F₁B，則橢圓C的標準方程是

 

．

Answer 1

分析：根據(jù)題意算出c=1，從而設(shè)橢圓C的方程為

x2

m

+

y2

m-1

=1（m＞1），與直線n的方程聯(lián)解消去y可得（2m-1）x²-2mx+2m-m²=0．設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由F₁A⊥F₁B，利用向量數(shù)量積的運算性質(zhì)得出

F1A

•

F1B

=0，根據(jù)坐標運算化簡可得x₁x₂+1=0，由根與系數(shù)的關(guān)系建立關(guān)于m的方程，解出m的值即可得到橢圓C的標準方程．

解答：解：∵橢圓C的焦點在x軸上，焦距為2，
∴c=1，橢圓的焦點為F₁（-1，0）與F₂（1，0），
設(shè)橢圓C的方程為

x2

m

+

y2

m-1

=1（m＞1），
由

x-y-1=0 x2 m + y2 m-1 =1

消去y，得（2m-1）x²-2mx+2m-m²=0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），可得x₁+x₂=

2m

2m-1

，x₁x₂=

2m-m2

2m-1

．
∵

F1A

=（x₁+1，y₁），

F1B

=（x₂+1，y₂），F(xiàn)₁A⊥F₁B，
∴

F1A

•

F1B

=0，即（x₁+1）（x₂+1）+y₁y₂=0，
可得（x₁+1）（x₂+1）+（x₁-1）（x₂-1）=0，
化簡得x₁x₂+1=0，即

2m-m2

2m-1

=-1，解得m=2±

3

．
由于m＞1，
∴m=2-

3

不符合題意，可得m=2+

3

．
∴橢圓C的標準方程是

x2

2+ 3

+

y2

1+ 3

=1．
故答案為：

x2

2+ 3

+

y2

1+ 3

=1

點評：本題給出橢圓滿足的條件，求橢圓的標準方程．著重考查了橢圓的標準方程與簡單幾何性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等知識，屬于中檔題．