Question

19．  已知函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx在點(diǎn)x₀處取得極大值5，其導(dǎo)函數(shù)y=f'（x）的圖象如圖所示，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，0），（2，0）．
（1）求x₀的值以及f（x）的解析式；
（2）若方程f（x）-m=0恰有2個(gè)根，求m的值．

Answer 1

分析 （1）結(jié)合圖象求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出x₀的值以及f（x）的解析式；（2）結(jié)合（1）求出函數(shù)的極大值和極小值，求出m的值即可．

解答 解：（1）由題意得，
在（-∞，1）上，f′（x）＞0，f（x）遞增，
在（1，2）上，f′（x）＜0，f（x）遞減，
在（2，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）遞增，
故f（x）極大值=f（1）=af（x₀）=5，故x₀=1，
f′（x）=3ax²+2bx+c，
由f′（1）=0，f′（2）=0，f（1）=5，
得$\left\{\begin{array}{l}{3a+2b+c=0}\\{12a+4b+c=0}\\{a+b+c=5}\end{array}\right.$，
解得：a=2，b=-9，c=12，
故f（x）=2x³-9x²+12x；
（2）若方程f（x）-m=0恰有2個(gè)根，
即m=f（x）有2個(gè)交點(diǎn)，
由（1）得：f（x）=2x³-9x²+12x，
f（x）_極大值=f（1）=5，f（x）_極小值=f（2）=4，
故m=5或m=4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．