Question

16．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過(guò)點(diǎn)A（0，1）作斜率為k的直線l，若直線l與以C為圓心的圓x²+y²-4x+3=0有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P和Q．
（Ⅰ）求k的取值范圍；
（Ⅱ）是否存在實(shí)數(shù)k，使得向量$\overrightarrow{CP}+\overrightarrow{CQ}$與向量$\overrightarrow{m}$=（-2，1）共線？如果存在，求k的值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）直線l的斜率存在，設(shè)其方程為：y=kx+1，代入圓的方程，得到二次方程，運(yùn)用判別式大于0，可得k的范圍；
（Ⅱ）存在，實(shí)數(shù)k=-$\frac{1}{2}$，理由：求得向量CP，CQ的坐標(biāo)，結(jié)合向量共線的坐標(biāo)表示，以及韋達(dá)定理，可得k的值．

解答 解：（Ⅰ）直線l的斜率存在，設(shè)其方程為：y=kx+1，圓的方程：x²+y²-4x+3=0，
聯(lián)立并消元得（1+k²）x²+（2k-4）x+4=0，
設(shè)兩個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由韋達(dá)定理得：x₁+x₂=$\frac{4-2k}{1+{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4}{1+{k}^{2}}$，
由直線與圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)可知△=（2k-4）²-16（1+k²）＞0，
解不等式得-$\frac{4}{3}$＜k＜0．                     
（Ⅱ）存在，實(shí)數(shù)k=-$\frac{1}{2}$，
理由如下：由（Ⅰ）假設(shè)可得$\overrightarrow{CP}$=（x₁-2，y₁），$\overrightarrow{CQ}$=（x₂-2，y₂），
所以$\overrightarrow{CP}$+$\overrightarrow{CQ}$=（x₁+x₂-4，y₁+y₂），又$\overrightarrow{m}$=（-2，1），
由向量$\overrightarrow{CP}$+$\overrightarrow{CQ}$與$\overrightarrow{m}$共線可知x₁+x₂-4+2（y₁+y₂）=0，…（※）
而y₁=kx₁+1，y₂=kx₂+1，得y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2，
代入（※）式化簡(jiǎn)得（1+2k）（x₁+x₂）=0，
從而得到$\frac{（1+2k）（4-2k）}{1+{k}^{2}}$=0，解得k=-$\frac{1}{2}$或k=2（舍去），
所以存在k=-$\frac{1}{2}$滿足題意．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線和圓的位置關(guān)系：相交，同時(shí)考查向量共線的坐標(biāo)表示，考查化簡(jiǎn)運(yùn)算能力，屬于中檔題．