Question

已知函數(shù)f（x）=x²+2x-3，集合M={（x，y）|f（x）+f（y）≤0}，N={（x，y）|f（x）-f（y）＞0}，則M∩N的面積是（　�。�

• A．2π
• B．

  7

  2

  π
• C．4π
• D．6π

Answer 1

分析：根據(jù)f（x）的表達(dá)式，分別化簡(jiǎn)集合M、N的不等式，得到集合M表示以（1，1）為圓心、半徑為2

2

的圓及其內(nèi)部，集合N的圖形是直線x-y=0和直線x+y-2=0相交，位于左右兩部分的平面區(qū)域．由此利用圓的面積公式加以計(jì)算，可得M∩N對(duì)應(yīng)圖形的面積．

解答：解：∵f（x）=x²-2x-3，
∴集合M={（x，y）|f（x）+f（y）≤0}
={（x，y）|x²+y²-2x-2y-6≤0}，
又∵方程x²+y²-2x-2y-6=0即（x-1）²+（y-1）²=8，
表示以（1，1）為圓心、半徑為2

2

的圓．
∴集合M表示以（1，1）為圓心、半徑為2

2

的圓及其內(nèi)部．
又∵N={（x，y）|f（x）-f（y）≥0}={（x，y）|x²-y²-2（x-y）≥0}
={（x，y）|（x-y）（x+y-2）≥0}，
∴集合N對(duì)應(yīng)的圖形是直線x-y=0和直線x+y-2=0相交，位于左右兩部分的平面區(qū)域．
因此，集合M∩N的區(qū)域是如圖所示的陰影部分，它的面積是半徑為2

2

的圓的面積的一半．
∴集合M∩N的面積S=

1

2

•π•(2

2

)2=4π．
故選：C

點(diǎn)評(píng)：本題給出二次函數(shù)，求兩個(gè)不等式組成的不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域的面積．著重考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與圓的位置關(guān)系、不等式的解法與圓面積公式等知識(shí)，屬于中檔題．