Question

3．設數列{a_n}滿足a₁=$\frac{1}{2}$，a_n+1=a_n²+a_n+1（n∈N^*）．
（1）證明：$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$≥3；
（2）設數列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前n項和為S_n，證明：S_n＜3．

Answer 1

分析 （1）數列{a_n}滿足a₁=$\frac{1}{2}$，a_n+1=a_n²+a_n+1（n∈N^*）．可得a_n＞0，變形$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=a_n+$\frac{1}{{a}_{n}}$+1，利用基本不等式的性質即可證明；
（2）由（1）可得a_n$≤\frac{1}{3}$a_n+1．可得$\frac{1}{{a}_{n+1}}$$≤\frac{1}{3}•\frac{1}{{a}_{n}}$．可得當n≥2時，$\frac{1}{{a}_{n}}$$≤\frac{1}{3}•\frac{1}{{a}_{n-1}}$≤$（\frac{1}{3}）^{2}•\frac{1}{{a}_{n-2}}$≤…≤$（\frac{1}{3}）^{n-1}$$•\frac{1}{{a}_{1}}$=2$•（\frac{1}{3}）^{n-1}$．即可證明．

解答 證明：（1）∵數列{a_n}滿足a₁=$\frac{1}{2}$，a_n+1=a_n²+a_n+1（n∈N^*）．
∴a_n＞0，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=a_n+$\frac{1}{{a}_{n}}$+1≥$2\sqrt{{a}_{n}•\frac{1}{{a}_{n}}}$+1=3，當且僅當a_n=1時取等號，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$≥3．
（2）由（1）可得a_n$≤\frac{1}{3}$a_n+1．
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$$≤\frac{1}{3}•\frac{1}{{a}_{n}}$．
∴當n≥2時，$\frac{1}{{a}_{n}}$$≤\frac{1}{3}•\frac{1}{{a}_{n-1}}$≤$（\frac{1}{3}）^{2}•\frac{1}{{a}_{n-2}}$≤…≤$（\frac{1}{3}）^{n-1}$$•\frac{1}{{a}_{1}}$=2$•（\frac{1}{3}）^{n-1}$．
∴S_n≤2$[1+\frac{1}{3}+（\frac{1}{3}）^{2}+…+（\frac{1}{3}）^{n-1}]$=2×$\frac{1-（\frac{1}{3}）^{n}}{1-\frac{1}{3}}$=3．
∵a_n≠1，
∴S_n＜3．

點評 本題考查了遞推關系的應用、等比數列的通項公式及其前n項和公式、基本不等式的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．