Question

13．已知函數(shù)f（x）=ln（1+x）-$\frac{ax}{x+2}$．
（Ⅰ）當(dāng)a=0時(shí)，求曲線y=f（x）在原點(diǎn)處的切線方程；
（Ⅱ）當(dāng)a＞0時(shí)，討論函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上的單調(diào)性．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率和切點(diǎn)，由點(diǎn)斜式方程，可得切線方程；
（Ⅱ）求出導(dǎo)數(shù)，對a討論，當(dāng)0＜a≤2時(shí)，當(dāng)a＞2時(shí)，由導(dǎo)數(shù)大于0，可得增區(qū)間，由導(dǎo)數(shù)小于0，可得減區(qū)間．

解答 解：f（x）的導(dǎo)數(shù)$f'（x）=\frac{1}{1+x}-\frac{2a}{{{{（x+2）}^2}}}$=$\frac{{{x^2}+（4-2a）x+（4-2a）}}{{（x+1）{{（x+2）}^2}}}$．
（Ⅰ）當(dāng)a=0時(shí)，f（0）=0，切線的斜率k=f'（0）=1，
所以切線方程為y=x，即x-y=0．
（Ⅱ）當(dāng)a＞0時(shí)，因?yàn)閤＞0，
所以只要考查g（x）=x²+（4-2a）x+（4-2a）的符號．
由△=（4-2a）²-4（4-2a）≤0，得0＜a≤2，
當(dāng)0＜a≤2時(shí)，g（x）＞0，從而f'（x）＞0，
f（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增；
當(dāng)a＞2時(shí)，由g（x）=0解得$x=a-2+\sqrt{{a^2}-2a}$．
當(dāng)0＜x＜a-2+$\sqrt{{a}^{2}-2a}$時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)x＞a-2+$\sqrt{{a}^{2}-2a}$時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增．
則函數(shù)f（x）在區(qū)間$（0，a-2+\sqrt{{a^2}-2a}）$單調(diào)遞減，
在區(qū)間$（a-2+\sqrt{{a^2}-2a}，+∞）$上單調(diào)遞增．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線方程和單調(diào)區(qū)間，考查運(yùn)算能力，運(yùn)用分類討論的思想方法是解題的關(guān)鍵．