Question

15．已知函數g（x）=log_a（x²-ax）在[2，3]上是增函數，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 設函數t=x²-ax，討論a＞1和0＜a＜1時，根據復合函數的單調性求出滿足條件的a的取值范圍即可．

解答 解：根據題意得，函數t=x²-ax的對稱軸為x=$\frac{a}{2}$；
①當a＞1時，由復合函數的單調性知，
g（x）在[2，3]單調遞增時，函數t單調增且t＞0在[2，3]上恒成立；
則$\left\{\begin{array}{l}{a＞1}\\{\frac{a}{2}≤2}\\{{2}^{2}-2a＞0}\end{array}\right.$，解得1＜a＜2；
②當0＜a＜1時，由復合函數的單調性知，
g（x）在[2，3]單調遞增時，函數t單調減且t＞0在[2，3]上恒成立；
則$\left\{\begin{array}{l}{0＜a＜1}\\{\frac{a}{2}≥2}\\{{3}^{2}-3a＞0}\end{array}\right.$，此時a不存在；
綜上，a的取值范圍是1＜a＜2．

點評 本題考查了由對數函數及二次函數組成復合函數的單調性應用問題，解題時應注意對數的真數大于0這一條件的考慮，是中檔題目．