Question

已知數(shù)列{a_n}中，，當n≥2時，3a_n+1=4a_n-a_n-1(n∈N*)，
(Ⅰ)證明：{a_n+1-a_n}為等比數(shù)列；
(Ⅱ)求數(shù)列{a_n}的通項；
(Ⅲ)若對任意n∈N*有λa₁a₂a₃…a_n≥1(λ∈N*)均成立，求λ的最小值。

Answer 1

(Ⅰ)證明：∵數(shù)列{a_n}中，，
當n≥2時，3a_n+1=4a_n-a_n-1(n∈N*)，
∴當n≥2時，，
即，
所以，是以為首項，以為公比的等比數(shù)列。
(Ⅱ)解：由(Ⅰ)知，，
故
，
累加，得，
所以，。
 (Ⅲ)解：若對任意n∈N*有λa₁a₂a₃…a_n≥1(λ∈N*)均成立，
即在n∈N*時恒成立，
故需求在n∈N*上的最小值，
先證n∈N*時有，
顯然，左邊每個因式都是正數(shù)，先證明對每個n∈N*，有
，
用數(shù)學歸納法證明上式，
(ⅰ)n=1時，上式顯然成立；
(ⅱ)假設n=k時，結論成立，
即，
則當n=k+1時，


即當n=k+1時，結論也成立；
故對一切n∈N*，
成立，
所以，


，
∵，
易知，
故，
而在n∈N*時恒成立且λ∈N*，
所以，λ的最小值為2。