Question

已知數列首項，公比為的等比數列，又，常數，數列滿足，

（1）、求證為等差數列；

（2）、若是遞減數列，求的最小值；（參考數據：）

（3）、是否存在正整數，使重新排列后成等比數列，若存在，求的值，若不存在，說明理由。

Answer 1

解：（1）由題意知，，……………………………………………………1分

因為，

∴數列是首項為，公差的等差數列．……………………………4分

（2）由（1）知，，，

恒成立，即恒成立，……………6分

因為是遞減函數，

所以，當n=1時取最大值，，……（）

因而，因為，所以．………………………………………………………8分

（3）記，，

，．9分

①、若是等比中項，則由得

化簡得，解得或（舍），

所以，因而   及   ．………11分

②、若是等比中項，則由得化簡得

，顯然不成立．………………13分

③、若是等比中項，則由

得

化簡得，因為不是完全不方數，因而，x的值是無理數，顯然不成立．……15分

綜上：存在適合題意。………16分