Question

已知f（x）為偶函數(shù)，且f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)，證明f（x）在（-∞，0）上是增函數(shù)．

Answer 1

分析：任取x₁，x₂∈（-∞，0）且x₁＜x₂，利用f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)，及f（x）為偶函數(shù)，判斷出f（x₁）＜f（x₂），根據(jù)增函數(shù)的定義可得答案．

解答：證明：任取x₁，x₂∈（-∞，0）且x₁＜x₂，
則-x₁，-x₂∈（0，+∞）且-x₁＞-x₂，
∵f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)，
∴f（-x₁）＜f（-x₂）
又∵f（x）為偶函數(shù)，
f（x₁）=f（-x₁），f（x₂）=f（-x₂）
∴f（x₁）＜f（x₂）
即f（x）在（-∞，0）上是增函數(shù)

點評：本題考查的知識點是函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的奇偶性，熟練掌握函數(shù)奇偶性的性質(zhì)及單調(diào)性的證明步驟是解答的關(guān)鍵．