Question

【題目】已知函數(shù)， ．

（1）若函數(shù)有三個(gè)不同的極值點(diǎn)，求的值；

（2）若存在實(shí)數(shù)，使對(duì)任意的，不等式恒成立，求正整數(shù)的最大值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）的取值范圍是；（Ⅱ）正整數(shù)的最大值為5．

【解析】試題分析：（Ⅰ）求出的導(dǎo)函數(shù)， 有3個(gè)極值點(diǎn)等價(jià)于方程有3個(gè)根；令，根據(jù)的單調(diào)性可知有3個(gè)零點(diǎn)，則，解出的取值范圍即可；（Ⅱ）不等式，即，分離參數(shù)得．

轉(zhuǎn)化為存在實(shí)數(shù)，使對(duì)任意的，不等式恒成立；構(gòu)造新函數(shù)，確定單調(diào)性，計(jì)算相應(yīng)函數(shù)值的正負(fù)，即可求正整數(shù)的最大值．

試題解析：（Ⅰ）

∵有3個(gè)極值點(diǎn)，∴有3個(gè)根

令

在上遞增， 上遞減．

∴有3個(gè)零點(diǎn)，∴，∴

（Ⅱ）不等式，即，即．

轉(zhuǎn)化為存在實(shí)數(shù)，使對(duì)任意的，

不等式恒成立．

即不等式在上恒成立．

即不等式在上恒成立

設(shè)，則．

設(shè)，則，因?yàn)?/span>，有．

故在區(qū)間上是減函數(shù)；

又

故存在，使得．

當(dāng)時(shí)，有，當(dāng)時(shí)，有．

從而在區(qū)間上遞增，在區(qū)間上遞減

又，

．

所以當(dāng)時(shí)，恒有；當(dāng)時(shí)，恒有；

故使命題成立的正整數(shù)的最大值為5.